Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(- e^{- t} t + e^{- t})}{e^{t}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = - e^{- t} t + e^{- t}$ et $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{t})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- e^{- t} t + e^{- t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{- t} t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{- t} t]$ .

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = e^{- t}$ et $g (t) = t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} \frac{d}{d t} [t] + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} \cdot 1 + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 4.2

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} \cdot - 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 6.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- 1 \cdot e^{- t})) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 6.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} \cdot - 1) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 8.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - 1 \cdot e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 8.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{t} (- e^{- t} - (t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- e^{- t} t) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- e^{t} e^{- t} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.2

Multipliez $e^{t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.1.2.1

Déplacez $e^{- t}$ .

$\frac{- (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- e^{- t + t} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.2.3

Additionnez $- t$ et $t$ .

$\frac{- e^{0} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.3

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.5

Multipliez $e^{t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.1.5.1

Déplacez $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.5.3

Additionnez $- t$ et $t$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.6

Simplifiez $- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 + 1 t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.8

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{- 1 + t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 1 + t - e^{t} e^{- t} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.10

Multipliez $e^{t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.1.10.1

Déplacez $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 + t - (e^{- t} e^{t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 + t - e^{- t + t} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.10.3

Additionnez $- t$ et $t$ .

$\frac{- 1 + t - e^{0} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.11

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.12

Multipliez $e^{- t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.1.12.1

Déplacez $e^{t}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- (e^{t} e^{- t}) t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{t - t} t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.12.3

Soustrayez $t$ de $t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{0} t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.13

Simplifiez $- (- e^{0} t)$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- 1 t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.14

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.15

Multipliez $- - t$ .

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Étape 10.5.1.15.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.15.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.16

Multipliez $e^{- t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.1.16.1

Déplacez $e^{t}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.16.3

Soustrayez $t$ de $t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.1.17

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{t - 2 + t - 1}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.3

Additionnez $t$ et $t$ .

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

Étape 10.5.4

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$