Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} e^{- 4 x}$

Étape 1

Écrivez $x^{3} e^{- 4 x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} e^{- 4 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 4 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 4 x$ .

$f' (x) = x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 4 x)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (- 4 x)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{- 4 x} \cdot - 4) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.1.3.3.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = x^{3} (- 4 \cdot e^{- 4 x}) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} (- 4 e^{- 4 x}) + e^{- 4 x} (3 x^{2})$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 e^{- 4 x} x^{3} + 3 e^{- 4 x} x^{2}$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{- 4 x} x^{3} + 3 e^{- 4 x} x^{2}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x}$ .

$- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} e^{- 4 x}$ à partir de $- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2} e^{- 4 x}$ à partir de $- 4 x^{3} e^{- 4 x}$ .

$x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x) + 3 x^{2} e^{- 4 x} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $x^{2} e^{- 4 x}$ à partir de $3 x^{2} e^{- 4 x}$ .

$x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x) + x^{2} e^{- 4 x} (3) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $x^{2} e^{- 4 x}$ à partir de $x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x) + x^{2} e^{- 4 x} (3)$ .

$x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x + 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- 4 x} = 0$

$- 4 x + 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $e^{- 4 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $e^{- 4 x}$ égal à $0$ .

$e^{- 4 x} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $e^{- 4 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (0)$

Étape 3.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 4 x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.6

Définissez $- 4 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $- 4 x + 3$ égal à $0$ .

$- 4 x + 3 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $- 4 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 3$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 3$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 3$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{3}{4}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, \frac{3}{4}$ .

$0, \frac{3}{4}$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - 4 {(- 1)}^{3} e^{- 4 \cdot - 1} + 3 {(- 1)}^{2} e^{- 4 \cdot - 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - 4 \cdot (- 1 e^{- 4 \cdot - 1}) + 3 {(- 1)}^{2} e^{- 4 \cdot - 1}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 e^{- 4 \cdot - 1} + 3 {(- 1)}^{2} e^{- 4 \cdot - 1}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 e^{4} + 3 {(- 1)}^{2} e^{- 4 \cdot - 1}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 4 e^{4} + 3 \cdot (1 e^{- 4 \cdot - 1})$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (- 1) = 4 e^{4} + 3 e^{- 4 \cdot - 1}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 e^{4} + 3 e^{4}$

Étape 6.2.2

Additionnez $4 e^{4}$ et $3 e^{4}$ .

$f' (- 1) = 7 e^{4}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $7 e^{4}$ .

$7 e^{4}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $7 e^{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{3}{4})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.375$ dans l’expression.

$f' (0.375) = - 4 {(0.375)}^{3} e^{- 4 \cdot 0.375} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.375$ à la puissance $3$ .

$f' (0.375) = - 4 \cdot (0.05273437 e^{- 4 \cdot 0.375}) + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $0.05273437$ .

$f' (0.375) = - 0.2109375 e^{- 4 \cdot 0.375} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0.375$ .

$f' (0.375) = - 0.2109375 e^{- 1.5} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.375) = - 0.2109375 \frac{1}{e^{1.5}} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.5

Associez $- 0.2109375$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (0.375) = \frac{- 0.2109375}{e^{1.5}} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (0.375) = - \frac{0.2109375}{e^{1.5}} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (0.375) = - \frac{0.2109375}{{2.71828182}^{1.5}} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.5$ .

$f' (0.375) = - \frac{0.2109375}{4.48168907} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.9

Divisez $0.2109375$ par $4.48168907$ .

$f' (0.375) = - 1 \cdot 0.04706651 + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $0.04706651$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.11

Élevez $0.375$ à la puissance $2$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 3 \cdot (0.140625 e^{- 4 \cdot 0.375})$

Étape 7.2.1.12

Multipliez $3$ par $0.140625$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 0.421875 e^{- 4 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.13

Multipliez $- 4$ par $0.375$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 0.421875 e^{- 1.5}$

Étape 7.2.1.14

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 0.421875 (\frac{1}{e^{1.5}})$

Étape 7.2.1.15

Associez $0.421875$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + \frac{0.421875}{e^{1.5}}$

Étape 7.2.1.16

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (0.375) = - 0.04706651 + \frac{0.421875}{{2.71828182}^{1.5}}$

Étape 7.2.1.17

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.5$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + \frac{0.421875}{4.48168907}$

Étape 7.2.1.18

Divisez $0.421875$ par $4.48168907$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 0.09413303$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 0.04706651$ et $0.09413303$ .

$f' (0.375) = 0.04706651$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.04706651$ .

$0.04706651$

Étape 7.3

Sur $x = 0.375$ la dérivée est $0.04706651$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \frac{3}{4})$ .

Augmente sur $(0, \frac{3}{4})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3}{4}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.75$ dans l’expression.

$f' (1.75) = - 4 {(1.75)}^{3} e^{- 4 \cdot 1.75} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $1.75$ à la puissance $3$ .

$f' (1.75) = - 4 \cdot (5.359375 e^{- 4 \cdot 1.75}) + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $5.359375$ .

$f' (1.75) = - 21.4375 e^{- 4 \cdot 1.75} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $1.75$ .

$f' (1.75) = - 21.4375 e^{- 7} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.75) = - 21.4375 \frac{1}{e^{7}} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.5

Associez $- 21.4375$ et $\frac{1}{e^{7}}$ .

$f' (1.75) = \frac{- 21.4375}{e^{7}} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (1.75) = - \frac{21.4375}{e^{7}} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (1.75) = - \frac{21.4375}{{2.71828182}^{7}} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $7$ .

$f' (1.75) = - \frac{21.4375}{1096.63315842} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.9

Divisez $21.4375$ par $1096.63315842$ .

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.01954846 + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $0.01954846$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.11

Élevez $1.75$ à la puissance $2$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 3 \cdot (3.0625 e^{- 4 \cdot 1.75})$

Étape 8.2.1.12

Multipliez $3$ par $3.0625$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 9.1875 e^{- 4 \cdot 1.75}$

Étape 8.2.1.13

Multipliez $- 4$ par $1.75$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 9.1875 e^{- 7}$

Étape 8.2.1.14

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 9.1875 (\frac{1}{e^{7}})$

Étape 8.2.1.15

Associez $9.1875$ et $\frac{1}{e^{7}}$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + \frac{9.1875}{e^{7}}$

Étape 8.2.1.16

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (1.75) = - 0.01954846 + \frac{9.1875}{{2.71828182}^{7}}$

Étape 8.2.1.17

Élevez $2.71828182$ à la puissance $7$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + \frac{9.1875}{1096.63315842}$

Étape 8.2.1.18

Divisez $9.1875$ par $1096.63315842$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 0.00837791$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 0.01954846$ et $0.00837791$ .

$f' (1.75) = - 0.01117055$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 0.01117055$ .

$- 0.01117055$

Étape 8.3

Sur $x = 1.75$ la dérivée est $- 0.01117055$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{3}{4}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{3}{4}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

Diminue sur : $(\frac{3}{4}, \infty)$

Étape 10