Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} - 11 x^{3} + 28 x = 0$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 11 x^{3} + 28 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 11 x^{3} + 28 x = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 11 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 11 x^{2}) + 28 x = 0$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $28 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 11 x^{2}) + x \cdot 28 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- 11 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 11 x^{2}) + x \cdot 28 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 11 x^{2}) + x \cdot 28$ .

$x (x^{4} - 11 x^{2} + 28) = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 28) = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} - 11 u + 28) = 0$

Étape 4

Factorisez $u^{2} - 11 u + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 7, - 4$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 7) (u - 4)) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 7) (x^{2} - 4)) = 0$

Étape 6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 7) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Factorisez.

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Étape 7.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x^{2} - 7) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Étape 7.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x^{2} - 7) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{2} - 7) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 9

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10

Définissez $x^{2} - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x^{2} - 7$ égal à $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x^{2} - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 7$

Étape 10.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{7}$

Étape 10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{7}$

Étape 10.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{7}$

Étape 10.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Étape 11

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 12

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} - 7) (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{7}, - \sqrt{7}, - 2, 2$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, \sqrt{7}, - \sqrt{7}, - 2, 2$

Forme décimale :

$x = 0, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots, - 2, 2$