Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{\frac{y}{z}}$

Étape 1

Comme $x$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $x e^{\frac{y}{z}}$ par rapport à $z$ est $x \frac{d}{d z} [e^{\frac{y}{z}}]$ .

$x \frac{d}{d z} [e^{\frac{y}{z}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = e^{z}$ et $g (z) = \frac{y}{z}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{y}{z}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{y}{z}$ .

$x (e^{\frac{y}{z}} \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $\frac{y}{z}$ par rapport à $z$ est $y \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}]$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}])$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{z}$ comme $z^{- 1}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y \frac{d}{d z} [z^{- 1}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y (- z^{- 2}))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y (- \frac{1}{z^{2}}))$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $y$ et $\frac{1}{z^{2}}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (- \frac{y}{z^{2}})$

Étape 4.2.2

Associez $x$ et $\frac{y}{z^{2}}$ .

$e^{\frac{y}{z}} (- \frac{x y}{z^{2}})$

Étape 4.2.3

Associez $e^{\frac{y}{z}}$ et $\frac{x y}{z^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{y}{z}} (x y)}{z^{2}}$

Étape 4.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- \frac{e^{\frac{y}{z}} x y}{z^{2}}$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{\frac{y}{z}} x y}{z^{2}}$ .

$- \frac{x y e^{\frac{y}{z}}}{z^{2}}$