Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{y^{2}} = x$ .

$\sqrt[3]{y^{2}} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3} = x^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y^{2}}$ comme $y^{\frac{2}{3}}$ .

${(y^{\frac{2}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x^{3}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{3}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez $\pm \sqrt{x^{3}}$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x}$

Étape 2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm x \sqrt{x}$

Étape 2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = x \sqrt{x}$

Étape 2.4.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - x \sqrt{x}$

Étape 2.4.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ et $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $x \sqrt{x}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 4.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ est le domaine de $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ , $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$

Étape 5