Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\ln (x)}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - \ln (x) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (x) = - 1$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Étape 3.3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\ln (x) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Étape 3.3.5

Réécrivez l’équation comme $x = e^{1}$ .

$x = e$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $e$ .

$e$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 5.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

Étape 7

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, e)$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, e)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.35914085$ dans l’expression.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Élevez $1.35914085$ à la puissance $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

Étape 8.2.2

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

Étape 8.2.3

La base logarithmique $2.71828182$ de $1.35914085$ est approximativement $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 1$ par $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

Étape 8.2.5

Soustrayez $0.30685277$ de $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

Étape 8.2.6

Divisez $0.69314722$ par $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

Étape 8.2.7

La réponse finale est $0.37522914$ .

$0.37522914$

Étape 8.3

Sur $x = 1.35914085$ la dérivée est $0.37522914$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, e)$ .

Augmente sur $(0, e)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, e), (e, \infty)$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(e, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $3.7182817$ dans l’expression.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Élevez $3.7182817$ à la puissance $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

Étape 10.2.2

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

Étape 10.2.3

La base logarithmique $2.71828182$ de $3.7182817$ est approximativement $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

Étape 10.2.4

Multipliez $- 1$ par $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

Étape 10.2.5

Soustrayez $1.31326165$ de $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

Étape 10.2.6

Divisez $- 0.31326165$ par $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

Étape 10.2.7

La réponse finale est $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

Étape 10.3

Sur $x = 3.7182817$ la dérivée est $- 0.02265805$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(e, \infty)$ .

Diminue sur $(e, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, e)$

Diminue sur : $(e, \infty)$

Étape 12