Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{4} {(i^{2} + 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(i^{2} + 1)}^{2}$ comme $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ .

$(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$

Étape 1.2

Développez $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$i^{2} (i^{2} + 1) + 1 (i^{2} + 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 (i^{2} + 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $i^{2}$ par $i^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$i^{4} + i^{2} + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $i^{2}$ et $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{4} i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Élevez $1$ à la puissance $4$ .

$1 + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.2

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$4 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.6

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 4 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 + 16 + 8 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.9

Additionnez $16$ et $8$ .

$4 + 24 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.10

Additionnez $24$ et $1$ .

$4 + 25 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.11

Additionnez $4$ et $25$ .

$29 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.12

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.13

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 9 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.14

Multipliez $2$ par $9$ .

$29 + 81 + 18 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.15

Additionnez $81$ et $18$ .

$29 + 99 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.16

Additionnez $99$ et $1$ .

$29 + 100 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.17

Additionnez $29$ et $100$ .

$129 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.18

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Étape 3.19

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 16 + 1$

Étape 3.20

Multipliez $2$ par $16$ .

$129 + 256 + 32 + 1$

Étape 3.21

Additionnez $256$ et $32$ .

$129 + 288 + 1$

Étape 3.22

Additionnez $288$ et $1$ .

$129 + 289$

Étape 3.23

Additionnez $129$ et $289$ .

$418$