Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 3 x^{2} - x$ , $[5, 6]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$- 3 x^{2} - x = 0$

Étape 1.2

Résolvez $- 3 x^{2} - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- 3 x^{2} - x$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- x (3 x) - x = 0$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x$ .

$- x (3 x) - x \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (3 x) - x (1)$ .

$- x (3 x + 1) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x + 1 = 0 + y = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (3 x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{1}{3}$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(- \frac{1}{3}, 0)$

$(0, 0)$

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{5}^{6} 0 d x - \int_{5}^{6} - 3 x^{2} - x d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $5$ et $6$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{5}^{6} 0 - (- 3 x^{2} - x) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $- 3 x^{2} - x$ de $0$ .

$\int_{5}^{6} - (- 3 x^{2} - x) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{5}^{6} - (- 3 x^{2}) + x d x$

Étape 3.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\int_{5}^{6} 3 x^{2} + x d x$

Étape 3.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{5}^{6} 3 x^{2} d x + \int_{5}^{6} x d x$

Étape 3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{5}^{6} x^{2} d x + \int_{5}^{6} x d x$

Étape 3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} x d x$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} x d x$

Étape 3.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{6}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}$

Étape 3.10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $6$ et sur $5$ .

$3 ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}$

Étape 3.10.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $6$ et sur $5$ .

$3 (\frac{6^{3}}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3

Simplifiez

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Étape 3.10.3.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{216}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.2

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

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Étape 3.10.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{72}{1} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.2.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$3 (72 - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$3 (72 - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.4

Pour écrire $72$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (72 \cdot \frac{3}{3} - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.5

Associez $72$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{72 \cdot 3}{3} - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{72 \cdot 3 - 125}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.3.7.1

Multipliez $72$ par $3$ .

$3 \frac{216 - 125}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.7.2

Soustrayez $125$ de $216$ .

$3 (\frac{91}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.8

Associez $3$ et $\frac{91}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.9

Multipliez $3$ par $91$ .

$\frac{273}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.10

Annulez le facteur commun à $273$ et $3$ .

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Étape 3.10.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $273$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 91}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{91}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.10.2.4

Divisez $91$ par $1$ .

$91 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.11

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$91 + \frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $36$ .

$91 + \frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.13

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 3.10.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$91 + \frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.13.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$91 + 18 - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Étape 3.10.3.14

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$91 + 18 - \frac{1}{2} \cdot 25$

Étape 3.10.3.15

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$91 + 18 - 25 (\frac{1}{2})$

Étape 3.10.3.16

Associez $- 25$ et $\frac{1}{2}$ .

$91 + 18 + \frac{- 25}{2}$

Étape 3.10.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$91 + 18 - \frac{25}{2}$

Étape 3.10.3.18

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$91 + 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Étape 3.10.3.19

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$91 + \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Étape 3.10.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$91 + \frac{18 \cdot 2 - 25}{2}$

Étape 3.10.3.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.3.21.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$91 + \frac{36 - 25}{2}$

Étape 3.10.3.21.2

Soustrayez $25$ de $36$ .

$91 + \frac{11}{2}$

Étape 3.10.3.22

Pour écrire $91$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$91 \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2}$

Étape 3.10.3.23

Associez $91$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 \cdot 2}{2} + \frac{11}{2}$

Étape 3.10.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{91 \cdot 2 + 11}{2}$

Étape 3.10.3.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.3.25.1

Multipliez $91$ par $2$ .

$\frac{182 + 11}{2}$

Étape 3.10.3.25.2

Additionnez $182$ et $11$ .

$\frac{193}{2}$

Étape 4