Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = x^{3}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{3 \cdot 2}$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$V = x^{6}$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{3}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{7}$ .

$V = π \frac{x^{7}}{7}]_{1}^{3}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{x^{7}}{7}$ sur $3$ et sur $1$ .

$V = π ((\frac{3^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$V = π (\frac{2187}{7} - \frac{1^{7}}{7})$

Étape 4.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (\frac{2187}{7} - \frac{1}{7})$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{2187 - 1}{7})$

Étape 4.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2187$ .

$V = π (\frac{2186}{7})$

Étape 4.2.2.5

Associez $π$ et $\frac{2186}{7}$ .

$V = \frac{π \cdot 2186}{7}$

Étape 4.2.2.6

Déplacez $2186$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{2186 π}{7}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{2186 π}{7}$

Forme décimale :

$V = 981.07450582 \dots$

Étape 6