Calcul infinitésimal Exemples

$- 3 x^{2} + 12 y^{2} = 84$

Étape 1

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ par $12$ .

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Divisez $84$ par $12$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{12}$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 (x^{2})}{12}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Étape 2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Étape 2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 7 + \frac{x^{2}}{4}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{7 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4.2

Associez $7$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4 + x^{2}}{4}}$

Étape 4.4

Multipliez $7$ par $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{28 + x^{2}}{4}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{28 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $28 + x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{4}}$

Étape 4.5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{28 + x^{2}}$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{28 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Étape 6

Définissez le radicande dans $\sqrt{28 + x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$28 + x^{2} \geq 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $28$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq - 28$

Étape 7.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 8

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 9

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

Étape 10

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty), {y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

Étape 11