Calcul infinitésimal Exemples

$f' (x) = (2 x - 1) (x + 1) (x - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (2 x - 1) (x + 1)$ et $g (x) = x - 3$ .

$(2 x - 1) (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(2 x - 1) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $2 x - 1$ par $1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x - 1$ et $g (x) = x + 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Étape 1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Étape 1.1.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Étape 1.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Étape 1.1.4.4.2

Multipliez $2 x - 1$ par $1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Étape 1.1.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.1.4.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.1.4.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.1.4.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (2 + 0))$

Étape 1.1.4.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.10.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) \cdot 2)$

Étape 1.1.4.10.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + 2 \cdot (x + 1))$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + 2 x + 2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) x + (2 x - 1) \cdot 1 + (x - 3) (2 x - 1 + 2 x + 2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x - 1 x + (2 x - 1) \cdot 1 + (x - 3) (2 x - 1 + 2 x + 2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (x - 3) (2 x - 1 + 2 x + 2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.9

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10

Associez des termes.

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Étape 1.1.5.10.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} - x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{2} - x + 2 x - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x^{2} - x + 2 x - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.8

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.13

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.14

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 6 x - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.15

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 6 x - x - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.16

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 6 x - x + 3 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.17

Soustrayez $x$ de $- 6 x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.21

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.22

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.23

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot 2 - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.24

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + 2 \cdot x - 3 (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.10.25

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + 2 x - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.10.26

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + 2 x - 6$

Étape 1.1.5.10.27

Additionnez $- 6 x$ et $2 x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 4 x - 6$

Étape 1.1.5.10.28

Additionnez $2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 4 x^{2} - 7 x + 3 - 4 x - 6$

Étape 1.1.5.10.29

Soustrayez $4 x$ de $- 7 x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 4 x^{2} - 11 x + 3 - 6$

Étape 1.1.5.10.30

Soustrayez $6$ de $3$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 4 x^{2} - 11 x - 3$

Étape 1.1.5.10.31

Additionnez $2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} + x - 1 - 11 x - 3$

Étape 1.1.5.10.32

Soustrayez $11 x$ de $x$ .

$6 x^{2} - 10 x - 1 - 3$

Étape 1.1.5.10.33

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 10 x - 4$

Étape 1.2

La dérivée première de $f' (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 10 x - 4$ .

$6 x^{2} - 10 x - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 10 x - 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 10 x - 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2} - 10 x - 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 10 x - 4 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x) - 4 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- 2) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 5 x) + 2 (- 2) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2} - 5 x) + 2 (- 2)$ .

$2 (3 x^{2} - 5 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$2 (3 x^{2} - 5 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $1$ plus $- 6$

$2 (3 x^{2} + (1 - 6) x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 (3 x^{2} + x - 6 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((3 x^{2} + x) - 6 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$2 ((3 x + 1) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (3 x + 1) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (3 x + 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{1}{3}, 2$ .

$- \frac{1}{3}, 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (- 1.\overline{3}) = 6 {(- 1.\overline{3})}^{2} - 10 \cdot - 1.\overline{3} - 4$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 6 \cdot 1.77777779 - 10 \cdot - 1.\overline{3} - 4$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $6$ par $1.77777779$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 10.66666677 - 10 \cdot - 1.\overline{3} - 4$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 10.66666677 + 13.3333334 - 4$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $10.66666677$ et $13.3333334$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 24.00000017 - 4$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $4$ de $24.00000017$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 20.00000017$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $20.00000017$ .

$20.00000017$

Étape 5.3

Sur $x = - 1.\overline{3}$ la dérivée est $20.00000017$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{1}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{1}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.\overline{3}, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.8\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (0.8\overline{3}) = 6 {(0.8\overline{3})}^{2} - 10 \cdot 0.8\overline{3} - 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.8\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = 6 \cdot 0.69444443 - 10 \cdot 0.8\overline{3} - 4$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $6$ par $0.69444443$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = 4.16666663 - 10 \cdot 0.8\overline{3} - 4$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $0.8\overline{3}$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = 4.16666663 - 8.3333333 - 4$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $8.3333333$ de $4.16666663$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = - 4.1\overline{6} - 4$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $4$ de $- 4.1\overline{6}$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = - 8.1\overline{6}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 8.1\overline{6}$ .

$- 8.1\overline{6}$

Étape 6.3

Sur $x = 0.8\overline{3}$ la dérivée est $- 8.1\overline{6}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.\overline{3}, 2)$ .

Diminue sur $(- \frac{1}{3}, 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 6 {(3)}^{2} - 10 \cdot 3 - 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 6 \cdot 9 - 10 \cdot 3 - 4$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $6$ par $9$ .

$f'' (3) = 54 - 10 \cdot 3 - 4$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$f'' (3) = 54 - 30 - 4$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $30$ de $54$ .

$f'' (3) = 24 - 4$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $4$ de $24$ .

$f'' (3) = 20$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $20$ .

$20$

Étape 7.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $20$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{1}{3}), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{1}{3}, 2)$

Étape 9