Calcul infinitésimal Exemples

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

Étape 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

Étape 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - 27 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27 y$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' - 27 y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 90$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

Étape 2.3.3

Comme $- 90$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 90$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 27 y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 27 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ .

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

Étape 2.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

Étape 2.5.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

Étape 2.5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ par $3 (y + 3) (y - 3)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ par $3 (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 90$

Étape 4.2.2

Soustrayez $90$ de $0$ .

$f (0) = - 90$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 90$ .

$- 90$

Étape 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

Étape 6