Calcul infinitésimal Exemples

$f (x, y) = 8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $8 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3

Comme $- 7 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $24 y x^{2}$ et $0$ .

$24 y x^{2} + 2$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 24 x^{2} y + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x^{2} y + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $24 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $24 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 y (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$48 y x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$48 y x + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $48 y x$ et $0$ .

$48 y x$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $48 y x$ .

$f'' (x) = 48 x y$