Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

Étape 1

La moyenne quadratique d’une fonction $f$ sur un intervalle spécifié $[a, b]$ dans la racine carrée de la moyenne arithmétique (moyenne) des carrés des valeurs d’origine.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Étape 2

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la moyenne quadratique d’une fonction.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

Étape 3

Évaluez l’intégrale.

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Étape 3.1

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Étape 3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

Étape 3.6

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.6.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.6.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

Étape 3.6.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

Étape 3.6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Étape 3.6.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 3.6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

Étape 3.6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 3.7

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 3.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

Étape 3.9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Étape 3.10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.10.1

Évaluez $x$ sur $4$ et sur $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Étape 3.10.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $8$ et sur $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

Étape 3.10.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1.1

Évaluez $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

Étape 3.11.1.1.2

Évaluez $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

Étape 3.11.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

Étape 3.11.1.2

Soustrayez $0.75680249$ de $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

Étape 3.11.1.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

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Étape 3.11.1.3.1

Multipliez $0.23255575$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

Étape 3.11.1.3.2

Associez $- 0.23255575$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

Étape 3.11.1.4

Divisez $- 0.23255575$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

Étape 3.11.2

Soustrayez $0.11627787$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

Étape 3.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

Étape 3.11.4

Divisez $5.88372212$ par $2$ .

$2.94186106$

Étape 4

Simplifiez la formule de la moyenne quadratique.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{4 + 2}$ et $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

Étape 4.2.2

Divisez $2.94186106$ par $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Forme décimale :

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$