Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

Étape 1

La moyenne quadratique d’une fonction $f$ sur un intervalle spécifié $[a, b]$ dans la racine carrée de la moyenne arithmétique (moyenne) des carrés des valeurs d’origine.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Étape 2

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la moyenne quadratique d’une fonction.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

Étape 3

Évaluez l’intégrale.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

Étape 3.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

Étape 3.3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Évaluez $\frac{1}{9} x^{9}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Étape 3.3.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $9$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

Étape 3.3.2.5

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 3.3.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{9}$

Étape 3.3.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{9}$

Étape 4

Simplifiez la formule de la moyenne quadratique.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{1 + 1}$ par $\frac{2}{9}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

Étape 4.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Étape 4.3

Réduisez l’expression $\frac{2}{2 \cdot 9}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Étape 4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Étape 4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

Étape 4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 4.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

Étape 5