Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 12 x + x^{2} - x^{3}$ , $g (x) = 0$

Étape 1

Remplacez $f (x)$ par $0$ .

$0 = 12 x + x^{2} - x^{3}$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $12 x + x^{2} - x^{3} = 0$ .

$12 x + x^{2} - x^{3} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$12 u + u^{2} - u^{3} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $12 u + u^{2} - u^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $12 u$ .

$u \cdot 12 + u^{2} - u^{3} = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot 12 + u \cdot u - u^{3} = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $- u^{3}$ .

$u \cdot 12 + u \cdot u + u (- u^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 12 + u \cdot u$ .

$u \cdot (12 + u) + u (- u^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.5

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot (12 + u) + u (- u^{2})$ .

$u (12 + u - u^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$u (- u^{2} + u + 12) = 0$

Étape 2.2.3.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.2.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$u (- u^{2} + 1 u + 12) = 0$

Étape 2.2.3.1.2.2

Réécrivez $1$ comme $- 3$ plus $4$

$u (- u^{2} + (- 3 + 4) u + 12) = 0$

Étape 2.2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$u (- u^{2} - 3 u + 4 u + 12) = 0$

Étape 2.2.3.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$u ((- u^{2} - 3 u) + 4 u + 12) = 0$

Étape 2.2.3.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (u (- u - 3) - 4 (- u - 3)) = 0$

Étape 2.2.3.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 3$ .

$u ((- u - 3) (u - 4)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u (- u - 3) (u - 4) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (- x - 3) (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $- x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $- x - 3$ égal à $0$ .

$- x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 3$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x = - 3$

Étape 2.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (- x - 3) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 4$