Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$

Étape 1

Prenez la dérivée de $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Étape 9

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{7}$ comme $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{7}})$

Étape 10

Associez $18$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{7}}$

Étape 11

Associez $\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{18 \sqrt{x^{7}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Factorisez $2$ à partir de $18 \sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Réécrivez $\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme $\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 14.1

Réécrivez $x^{7}$ comme ${(x^{3})}^{2} x$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $x^{6}$ .

$\frac{9 \sqrt{x^{6} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.1.2

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{{(x^{3})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{3} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Multipliez $x^{3}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{3 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{6 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 18

Multipliez $x^{\frac{7}{2}}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}})$

Étape 18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{7}{2}}$

Étape 18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 x^{\frac{- 1 + 7}{2}}$

Étape 18.4

Additionnez $- 1$ et $7$ .

$9 x^{\frac{6}{2}}$

Étape 18.5

Divisez $6$ par $2$ .

$9 x^{3}$