Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)} = \sin (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $\sin (x)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.4.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Étape 3.4.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Étape 3.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Étape 3.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Étape 3.4.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de ${\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x))}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Étape 3.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) + \cos (x)}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\sin (x)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)} = \sin (x)$ est une identité