Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - 4 x^{- 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{- 2}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f' (x) = 1 + 8 x^{- 3}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 8 x^{- 3} + 1$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 8 (\frac{1}{x^{3}}) + 1$

Étape 1.1.3.2.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{3}} + 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{x^{3}} + 1$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8}{x^{3}} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{8}{x^{3}} = - 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{8}{x^{3}} = - 1$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{8}{x^{3}} = - 1$ par $x^{3}$ .

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$8 = - x^{3}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{3} = 8$ .

$- x^{3} = 8$

Étape 2.5.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{3} - 8 = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} - 8$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) - 8 = 0$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot 8 = 0$

Étape 2.5.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (8)$ .

$- (x^{3} + 8) = 0$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Étape 2.5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 2.5.3.4

Factorisez.

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Étape 2.5.3.4.1

Simplifiez

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Étape 2.5.3.4.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 2.5.3.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Étape 2.5.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Étape 2.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Étape 2.5.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5.6

Définissez $x^{2} - 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.6.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Étape 2.5.6.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 2$ .

$- 2$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = \frac{8}{{(- 3)}^{3}} + 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f' (- 3) = \frac{8}{- 27} + 1$

Étape 6.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = - \frac{8}{27} + 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (- 3) = - \frac{8}{27} + \frac{27}{27}$

Étape 6.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 3) = \frac{- 8 + 27}{27}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 8$ et $27$ .

$f' (- 3) = \frac{19}{27}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{19}{27}$ .

$\frac{19}{27}$

Étape 6.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $\frac{19}{27}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{8}{{(- 1)}^{3}} + 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = \frac{8}{- 1} + 1$

Étape 7.2.1.2

Divisez $8$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 8 + 1$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 8$ et $1$ .

$f' (- 1) = - 7$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 7$ .

$- 7$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 7$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, 0)$ .

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{8}{{(1)}^{3}} + 1$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{8}{1} + 1$

Étape 8.2.1.2

Divisez $8$ par $1$ .

$f' (1) = 8 + 1$

Étape 8.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$f' (1) = 9$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $9$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- 2, 0)$

Étape 10