Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1 - t^{2}} d t$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1^{2} - t^{2}} d t]$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

Étape 2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $1 - t$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Étape 3

Comme $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ par rapport à $x$ est $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- x^{- 2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 6.2

Réorganisez les facteurs de $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$

Étape 6.3

Associez $- \frac{1}{x^{2}}$ et $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ .

$- \frac{\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t}{x^{2}}$