Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x e^{- x}$ à partir de $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x e^{- x}$ à partir de $- x^{2} e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + 2 x e^{- x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x e^{- x}$ à partir de $2 x e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x e^{- x}$ à partir de $x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2)$ .

$x e^{- x} (- x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.6

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ .

$- x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $- x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{- x} (- x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 2$ .

$0, 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2.1.5

Réécrivez $- 1 e$ comme $- e$ .

$f' (- 1) = - e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 \cdot e^{- (- 1)}$

Étape 5.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 e$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2 e$ de $- e$ .

$f' (- 1) = - 3 e$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 3 e$ .

$- 3 e$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 3 e$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez $- 1 \frac{1}{e}$ comme $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1}$

Étape 6.2.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 6.2.1.9

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (1) = \frac{1}{e}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{1}{e}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 2)$ .

Augmente sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - {(3)}^{2} e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - 1 \cdot (9 e^{- (3)}) + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f' (3) = - 9 e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (3) = - 9 e^{- 3} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 9 \frac{1}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Étape 7.2.1.5

Associez $- 9$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = \frac{- 9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Étape 7.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- (3)}$

Étape 7.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- 3}$

Étape 7.2.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Étape 7.2.1.10

Associez $6$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + \frac{6}{e^{3}}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{- 9 + 6}{e^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1

Additionnez $- 9$ et $6$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{e^{3}}$

Étape 7.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (3) = - \frac{3}{e^{3}}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- \frac{3}{e^{3}}$ .

$- \frac{3}{e^{3}}$

Étape 7.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- \frac{3}{e^{3}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, \infty)$ .

Diminue sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, 2)$

Diminue sur : $(- \infty, 0), (2, \infty)$

Étape 9