Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x - 24$ ; $[2, 6]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$8 x - 24 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $8 x - 24 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x = 24$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $8 x = 24$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 24$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{24}{8}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $24$ par $8$ .

$x = 3$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $3$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(3, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{2}^{3} 0 d x - \int_{2}^{3} 8 x - 24 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $2$ et $3$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{2}^{3} 0 - (8 x - 24) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $8 x - 24$ de $0$ .

$\int_{2}^{3} - (8 x - 24) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{2}^{3} - (8 x) + 24 d x$

Étape 3.4

Multipliez.

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Étape 3.4.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 x - - 24$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$- 8 x + 24$

$\int_{2}^{3} - 8 x + 24 d x$

Étape 3.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} - 8 x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

Étape 3.6

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$- 8 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

Étape 3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

Étape 3.9

Appliquez la règle de la constante.

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 24 x]_{2}^{3}$

Étape 3.10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.10.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $2$ .

$- 8 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 24 x]_{2}^{3}$

Étape 3.10.2

Évaluez $24 x$ sur $3$ et sur $2$ .

$- 8 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3

Simplifiez

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Étape 3.10.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.10.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.5

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 8 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.3.8.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 8 \frac{9 - 4}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.8.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$- 8 (\frac{5}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.9

Associez $- 8$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 8 \cdot 5}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.10

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$\frac{- 40}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.11

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $2$ .

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Étape 3.10.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 40$ .

$\frac{2 \cdot - 20}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 20}{2 (1)} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 20}{1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.11.2.4

Divisez $- 20$ par $1$ .

$- 20 + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.12

Multipliez $24$ par $3$ .

$- 20 + 72 - 24 \cdot 2$

Étape 3.10.3.13

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$- 20 + 72 - 48$

Étape 3.10.3.14

Soustrayez $48$ de $72$ .

$- 20 + 24$

Étape 3.10.3.15

Additionnez $- 20$ et $24$ .

$4$

Étape 4

$A r e a = \int_{3}^{6} 8 x - 24 d x - \int_{3}^{6} 0 d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $3$ et $6$ .

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Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 - (0) d x$

Étape 5.2

Soustrayez $0$ de $8 x - 24$ .

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 d x$

Étape 5.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{3}^{6} 8 x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Étape 5.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{3}^{6} x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Étape 5.7

Appliquez la règle de la constante.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + - 24 x]_{3}^{6}$

Étape 5.8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $6$ et sur $3$ .

$8 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 x]_{3}^{6}$

Étape 5.8.2

Évaluez $- 24 x$ sur $6$ et sur $3$ .

$8 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3

Simplifiez

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Étape 5.8.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$8 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.2

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 5.8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.2.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$8 (18 - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$8 (18 - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.4

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.5

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.3.7.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$8 \frac{36 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.7.2

Soustrayez $9$ de $36$ .

$8 (\frac{27}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.8

Associez $8$ et $\frac{27}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 27}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.9

Multipliez $8$ par $27$ .

$\frac{216}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.10

Annulez le facteur commun à $216$ et $2$ .

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Étape 5.8.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $216$ .

$\frac{2 \cdot 108}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.8.3.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 108}{2 (1)} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 108}{2 \cdot 1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{108}{1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.10.2.4

Divisez $108$ par $1$ .

$108 - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.11

Multipliez $- 24$ par $6$ .

$108 - 144 + 24 \cdot 3$

Étape 5.8.3.12

Multipliez $24$ par $3$ .

$108 - 144 + 72$

Étape 5.8.3.13

Additionnez $- 144$ et $72$ .

$108 - 72$

Étape 5.8.3.14

Soustrayez $72$ de $108$ .

$36$

Étape 6

Additionnez $4$ et $36$ .

$40$

Étape 7