Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = e^{- 2 t^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 2 t^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- 2 t^{2})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (t) = e^{u} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2})$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 t^{2}$ .

$f' (t) = e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2})$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = e^{- 2 t^{2}} (- 2 \frac{d}{d t} t^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (t) = e^{- 2 t^{2}} (- 2 (2 t))$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (t) = e^{- 2 t^{2}} (- 4 t)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- 2 t^{2}} (- 4 t)$ .

$f' (t) = - 4 e^{- 2 t^{2}} t$

Étape 1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{- 2 t^{2}} t$ .

$f' (t) = - 4 t e^{- 2 t^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4 t e^{- 2 t^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [t e^{- 2 t^{2}}]$ .

$f'' (t) = - 4 \frac{d}{d t} (t e^{- 2 t^{2}})$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- 2 t^{2}}$ .

$f'' (t) = - 4 (t \frac{d}{d t} (e^{- 2 t^{2}}) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 2 t^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 t^{2}$ .

$f'' (t) = - 4 (t (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- 2 t^{2})) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (t) = - 4 (t (e^{u} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2})) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 t^{2}$ .

$f'' (t) = - 4 (t (e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2})) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = - 4 (t (e^{- 2 t^{2}} (- 2 \frac{d}{d t} t^{2})) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (t) = - 4 (t (e^{- 2 t^{2}} (- 2 (2 t))) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (t) = - 4 (t (e^{- 2 t^{2}} (- 4 t)) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f'' (t) = - 4 (t \cdot t (e^{- 2 t^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.6

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f'' (t) = - 4 (t \cdot t (e^{- 2 t^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (t) = - 4 (t^{1 + 1} (e^{- 2 t^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- 2 t^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.8.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $e^{- 2 t^{2}}$ .

$f'' (t) = - 4 (t^{2} (- 4 \cdot e^{- 2 t^{2}}) + e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (t) = - 4 (t^{2} (- 4 e^{- 2 t^{2}}) + e^{- 2 t^{2}} \cdot 1)$

Étape 1.2.10

Multipliez $e^{- 2 t^{2}}$ par $1$ .

$f'' (t) = - 4 (t^{2} (- 4 e^{- 2 t^{2}}) + e^{- 2 t^{2}})$

Étape 1.2.11

Simplifiez

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Étape 1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = - 4 (t^{2} (- 4 e^{- 2 t^{2}})) - 4 e^{- 2 t^{2}}$

Étape 1.2.11.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (t) = 16 t^{2} e^{- 2 t^{2}} - 4 e^{- 2 t^{2}}$

Étape 1.2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (t) = 16 e^{- 2 t^{2}} t^{2} - 4 e^{- 2 t^{2}}$

Étape 1.2.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $16 e^{- 2 t^{2}} t^{2} - 4 e^{- 2 t^{2}}$ .

$f'' (t) = 16 t^{2} e^{- 2 t^{2}} - 4 e^{- 2 t^{2}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (t)$ par rapport à $t$ est $16 t^{2} e^{- 2 t^{2}} - 4 e^{- 2 t^{2}}$ .

$16 t^{2} e^{- 2 t^{2}} - 4 e^{- 2 t^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $16 t^{2} e^{- 2 t^{2}} - 4 e^{- 2 t^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$16 t^{2} e^{- 2 t^{2}} - 4 e^{- 2 t^{2}} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 e^{- 2 t^{2}}$ à partir de $16 t^{2} e^{- 2 t^{2}} - 4 e^{- 2 t^{2}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4 e^{- 2 t^{2}}$ à partir de $16 t^{2} e^{- 2 t^{2}}$ .

$4 e^{- 2 t^{2}} (4 t^{2}) - 4 e^{- 2 t^{2}} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4 e^{- 2 t^{2}}$ à partir de $- 4 e^{- 2 t^{2}}$ .

$4 e^{- 2 t^{2}} (4 t^{2}) + 4 e^{- 2 t^{2}} (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4 e^{- 2 t^{2}}$ à partir de $4 e^{- 2 t^{2}} (4 t^{2}) + 4 e^{- 2 t^{2}} (- 1)$ .

$4 e^{- 2 t^{2}} (4 t^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $4 t^{2}$ comme ${(2 t)}^{2}$ .

$4 e^{- 2 t^{2}} ({(2 t)}^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 e^{- 2 t^{2}} ({(2 t)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez.

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Étape 2.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 t$ et $b = 1$ .

$4 e^{- 2 t^{2}} ((2 t + 1) (2 t - 1)) = 0$

Étape 2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 e^{- 2 t^{2}} (2 t + 1) (2 t - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- 2 t^{2}} = 0$

$2 t + 1 = 0$

$2 t - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- 2 t^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- 2 t^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- 2 t^{2}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- 2 t^{2}} = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2 t^{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2 t^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $2 t + 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 t + 1$ égal à $0$ .

$2 t + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 t + 1 = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 t = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 t = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 t = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Définissez $2 t - 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $2 t - 1$ égal à $0$ .

$2 t - 1 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $2 t - 1 = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 t = 1$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 t = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 t = 1$ par $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{1}{2}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 e^{- 2 t^{2}} (2 t + 1) (2 t - 1) = 0$ vraie.

$t = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- \frac{1}{2}$ dans $f (t) = e^{- 2 t^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $t$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})}$

Étape 3.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.1.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 3.1.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Étape 3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Étape 3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{1}{2}$ dans $f (t) = e^{- 2 t^{2}}$ est $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{1}{2}$ dans $f (t) = e^{- 2 t^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $t$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{1}{4})}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 3.3.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.2.5

La réponse finale est $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{1}{2}$ dans $f (t) = e^{- 2 t^{2}}$ est $(\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $t$ par $- 0.6$ dans l’expression.

$f'' (- 0.6) = 16 {(- 0.6)}^{2} e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.6) = 16 \cdot (0.36 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $16$ par $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 0.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 2 \cdot 0.36} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 0.72} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 (\frac{1}{e^{0.72}}) - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.6

Associez $5.76$ et $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{e^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{{2.71828182}^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.72$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{2.05443321} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.9

Divisez $5.76$ par $2.05443321$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Étape 5.2.1.10

Élevez $- 0.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 \cdot 0.36}$

Étape 5.2.1.11

Multipliez $- 2$ par $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 0.72}$

Étape 5.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 \frac{1}{e^{0.72}}$

Étape 5.2.1.13

Associez $- 4$ et $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 + \frac{- 4}{e^{0.72}}$

Étape 5.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - \frac{4}{e^{0.72}}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $\frac{4}{e^{0.72}}$ de $2.80369299$ .

$f'' (- 0.6) = 0.85668397$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0.85668397$ .

$0.85668397$

Étape 5.3

Sur $- 0.6$ , la dérivée seconde est $0.85668397$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{1}{2})$ depuis $f'' (t) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 16 {(0)}^{2} e^{- 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 16 \cdot (0 e^{- 2 {(0)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $16$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Étape 6.2.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{0}$

Étape 6.2.1.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4 \cdot 1$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 4$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Diminue sur $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ depuis $f'' (t) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $t$ par $0.6$ dans l’expression.

$f'' (0.6) = 16 {(0.6)}^{2} e^{- 2 {(0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $0.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.6) = 16 \cdot (0.36 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $16$ par $0.36$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 2 {(0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $0.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 2 \cdot 0.36} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $0.36$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 0.72} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.6) = 5.76 (\frac{1}{e^{0.72}}) - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6

Associez $5.76$ et $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{e^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{{2.71828182}^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.72$ .

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{2.05443321} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.9

Divisez $5.76$ par $2.05443321$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Étape 7.2.1.10

Élevez $0.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 \cdot 0.36}$

Étape 7.2.1.11

Multipliez $- 2$ par $0.36$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 0.72}$

Étape 7.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 \frac{1}{e^{0.72}}$

Étape 7.2.1.13

Associez $- 4$ et $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 + \frac{- 4}{e^{0.72}}$

Étape 7.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0.6) = 2.80369299 - \frac{4}{e^{0.72}}$

Étape 7.2.2

Soustrayez $\frac{4}{e^{0.72}}$ de $2.80369299$ .

$f'' (0.6) = 0.85668397$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.85668397$ .

$0.85668397$

Étape 7.3

Sur $0.6$ , la dérivée seconde est $0.85668397$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{1}{2}, \infty)$ depuis $f'' (t) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 9