Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[- 6, 6]$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[- 6, 6]$ .

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Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[- 6, 6]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.1.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 2.2

$f' (x)$ n’est pas continu sur $[- 6, 6]$ car $0$ n’est pas dans le domaine de $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

La fonction n’est pas continue.

Étape 3

La fonction n’est pas différentiable sur $[- 6, 6]$ car la dérivée $- \frac{1}{x^{2}}$ est continue sur $[- 6, 6]$ .

La fonction n’est pas différentiable.

Étape 4