Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{9}{\sqrt{x}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Étape 6.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$9 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$9 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Étape 6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 9 \sqrt{x} d x$

Étape 8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 9 \int \sqrt{x} d x$

Étape 9

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 9 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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$18 x^{\frac{1}{2}} + 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + 9 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 11.2.2

Associez $9$ et $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 11.2.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{18 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 11.2.4

Factorisez $3$ à partir de $18 x^{\frac{3}{2}}$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (6 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 11.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (6 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

Étape 11.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (6 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Étape 11.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

Étape 11.2.5.4

Divisez $6 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $18 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} + C$