Calcul infinitésimal Exemples

$36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

Étape 1

Écrivez $36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ comme une fonction.

$f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 36 e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 5

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , placez $36$ en dehors de l’intégrale.

$36 \int e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = - 4 x$ . Alors $d u_{1} = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u_{1} = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$36 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$36 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 7.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$36 \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$36 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$- 36 \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- 36 (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 36$ .

$\frac{- 36}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 36$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 9}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 11.2.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$- 9 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 13

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , placez $24$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Étape 14

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Alors $d u_{2} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 14.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 15.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}) + \int 4 d x$

Étape 17

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 18

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

Étape 19

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 24}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 19.2

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 19.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 19.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 19.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 12}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 19.2.2.4

Divisez $- 12$ par $1$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 20

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

Étape 21

Appliquez la règle de la constante.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

Étape 22

Simplifiez

$- 9 e^{u_{1}} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

Étape 23

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 4 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

Étape 23.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$

Étape 24

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ .

$F (x) =$ $- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$