Calcul infinitésimal Exemples

${(1 - \frac{x}{3})}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(1 - \frac{x}{3})}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(1 - \frac{x}{3})}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(1 - \frac{x}{3})}^{2} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 - \frac{x}{3}$ . Alors $d u = - \frac{1}{3} d x$ , donc $- 3 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u = 1 - \frac{x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $1 - \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{3}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{3}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Étape 5.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$\int - u^{2} (1 \cdot 3) d u$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int - u^{2} \cdot 3 d u$

Étape 5.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int - 3 u^{2} d u$

Étape 6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int u^{2} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réécrivez $- 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $- 3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} u^{3} + C$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3} u^{3} + C$

Étape 8.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} u^{3} + C$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} u^{3} + C$

Étape 8.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} u^{3} + C$

Étape 8.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- u^{3} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \frac{x}{3}$ .

$- {(1 - \frac{x}{3})}^{3} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- {(1 - \frac{1}{3} x)}^{3} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(1 - \frac{x}{3})}^{2}$ .

$F (x) =$ $- {(1 - \frac{1}{3} x)}^{3} + C$