Calcul infinitésimal Exemples

$3^{x + 1} d x$

Étape 1

Écrivez $3^{x + 1} d x$ comme une fonction.

$f (x) = 3^{x + 1} d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3^{x + 1} d x d x$

Étape 4

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int 3^{x + 1} x d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = 3^{x + 1}$ .

$d (x (\frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1}) - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{\ln (3)}$ et $3^{x + 1}$ .

$d (x \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{3^{x + 1}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{\ln (3)}$ et $3^{x + 1}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{\ln (3)}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{\ln (3)}$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{x + 1} d x))$

Étape 8

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 8.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $3^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

Étape 10

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Étape 10.1

Réécrivez $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ comme $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Pour écrire $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3)}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Étape 10.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\ln^{2} (3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ par $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Étape 10.2.2.2

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Étape 10.2.2.3

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Étape 10.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{{\ln (3)}^{1 + 1}} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Étape 10.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{2} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Étape 10.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$d \frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

Étape 10.2.4

Associez $d$ et $\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)}$ .

$\frac{d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u})}{\ln^{2} (3)} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3^{x + 1} d x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$