Calcul infinitésimal Exemples

$8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$

Étape 1

Écrivez $8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$ comme une fonction.

$f (x) = 8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 8 x (x^{7} - \frac{1}{8}) d x$

Étape 4

Multipliez $8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$ .

$\int 8 x \cdot x^{7} + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $x$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1

Déplacez $x^{7}$ .

$\int 8 (x^{7} x) + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Étape 5.1.2

Multipliez $x^{7}$ par $x$ .

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Étape 5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 8 (x^{7} x^{1}) + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Étape 5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 8 x^{7 + 1} + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Étape 5.1.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$\int 8 x^{8} + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\int 8 x^{8} - 8 x \frac{1}{8} d x$

Étape 5.3

Associez $- 8$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int 8 x^{8} + x \frac{- 8}{8} d x$

Étape 5.4

Associez $x$ et $\frac{- 8}{8}$ .

$\int 8 x^{8} + \frac{x \cdot - 8}{8} d x$

Étape 5.5

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$\int 8 x^{8} + \frac{- 8 \cdot x}{8} d x$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $8$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x$ .

$\int 8 x^{8} + \frac{8 (- x)}{8} d x$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\int 8 x^{8} + \frac{8 (- x)}{8 (1)} d x$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int 8 x^{8} + \frac{8 (- x)}{8 \cdot 1} d x$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int 8 x^{8} + \frac{- x}{1} d x$

Étape 5.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$\int 8 x^{8} - x d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 8 x^{8} d x + \int - x d x$

Étape 7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int x^{8} d x + \int - x d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$8 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int - x d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - \int x d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$8 (\frac{1}{9}) x^{9} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 11.2

Associez $8$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{8}{9} x^{9} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{9} x^{9} - \frac{1}{2} x^{2} + C$