Calcul infinitésimal Exemples

$6 x e^{3 x}$

Étape 1

Écrivez $6 x e^{3 x}$ comme une fonction.

$f (x) = 6 x e^{3 x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 6 x e^{3 x} d x$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int x e^{3 x} d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{3 x}$ .

$6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Étape 8

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 8.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Étape 9

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Étape 11.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Étape 13

Réécrivez $6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ comme $6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{x}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Étape 15.1.3

Associez $e^{3 x}$ et $\frac{1}{9}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Étape 15.3.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Étape 15.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Étape 15.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{3 x}}{9}$ dans le numérateur.

$2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Étape 15.4.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Étape 15.4.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Étape 15.4.4

Annulez le facteur commun.

$2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Étape 15.4.5

Réécrivez l’expression.

$2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + C$

Étape 15.5

Associez $2$ et $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + C$

Étape 15.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + C$

Étape 15.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Étape 15.8

Pour écrire $2 x e^{3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Étape 15.9

Associez $2 x e^{3 x}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Étape 15.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Étape 15.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.11.1

Factorisez $2 e^{3 x}$ à partir de $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

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Étape 15.11.1.1

Factorisez $2 e^{3 x}$ à partir de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Étape 15.11.1.2

Factorisez $2 e^{3 x}$ à partir de $- 2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C$

Étape 15.11.1.3

Factorisez $2 e^{3 x}$ à partir de $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C$

Étape 15.11.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C$

$\frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 6 x e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$