Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3 x^{2}} d x$

Étape 5

Laissez $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Alors $d u = \sqrt{3} d x$ , donc $\frac{1}{\sqrt{3}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$

Étape 5.1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$ comme $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Remettez dans l’ordre $3$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3}]$

Étape 5.1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$

Étape 5.1.3

Comme $\sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x \sqrt{3}$ par rapport à $x$ est $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1$

Étape 5.1.5

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} \int u \frac{1}{\sqrt{3}} d u$

Étape 6

Associez $u$ et $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt{3}} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{\sqrt{3}}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{3}} \int u d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3} \cdot 2} \int u d u$

Étape 8.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \int u d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Réécrivez $\frac{1}{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Étape 10.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

Étape 10.2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{6}$ par $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{6 \cdot 2} + C$

Étape 10.2.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{12} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2}}{12} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sqrt{3}}{12} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{\sqrt{3}}{12} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$