Calcul infinitésimal Exemples

$2 - 2 \sin (π x)$

Étape 1

Écrivez $2 - 2 \sin (π x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 - 2 \sin (π x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 - 2 \sin (π x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 d x + \int - 2 \sin (π x) d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$2 x + C + \int - 2 \sin (π x) d x$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$2 x + C - 2 \int \sin (π x) d x$

Étape 7

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 7.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 x + C - 2 \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Étape 8

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$2 x + C - 2 \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$2 x + C - 2 (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{π}$ et $- 2$ .

$2 x + C + \frac{- 2}{π} \int \sin (u) d u$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x + C - \frac{2}{π} \int \sin (u) d u$

Étape 11

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$2 x + C - \frac{2}{π} (- \cos (u) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$2 x + \frac{2 \cos (u)}{π} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$2 x + \frac{2 \cos (π x)}{π} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x + \frac{2}{π} \cos (π x) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 - 2 \sin (π x)$ .

$F (x) =$ $2 x + \frac{2}{π} \cos (π x) + C$