Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (\frac{1}{2} π x)$

Étape 1

Écrivez $\sin (\frac{1}{2} π x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (\frac{1}{2} π x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (\frac{1}{2} \cdot (π x)) d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \sin (\frac{π}{2} \cdot x) d x$

Étape 4.2

Associez $\frac{π}{2}$ et $x$ .

$\int \sin (\frac{π x}{2}) d x$

Étape 5

Laissez $u = \frac{π x}{2}$ . Alors $d u = \frac{π}{2} d x$ , donc $\frac{2}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = \frac{π x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Étape 5.1.2

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Étape 6

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Étape 6.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{π}{2}$ .

$\int \sin (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{2}{π}$ par $1$ .

$\int \sin (u) \frac{2}{π} d u$

Étape 6.3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{2}{π}$ .

$\int \frac{\sin (u) \cdot 2}{π} d u$

Étape 6.4

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (u)$ .

$\int \frac{2 \sin (u)}{π} d u$

Étape 7

Comme $\frac{2}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{2}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{π} \int \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{2}{π} (- \cos (u) + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{2}{π} (- \cos (u)) + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{2}{π}$ et $\cos (u)$ .

$- \frac{2 \cos (u)}{π} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{2}$ .

$- \frac{2 \cos (\frac{π x}{2})}{π} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2}{π} \cos (\frac{π}{2} x) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (\frac{1}{2} \cdot (π x))$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{π} \cos (\frac{π}{2} x) + C$