Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 3 \int x^{- 4} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 9.2

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 9.3

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 10

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \tan (x) + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{3}} + \tan (x) + C$

Étape 11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{x^{3}} + \tan (x) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{x^{3}} + \tan (x) + C$