Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 4) \sqrt{x + 4}$

Étape 1

Écrivez $(x - 4) \sqrt{x + 4}$ comme une fonction.

$f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (x - 4) \sqrt{x + 4} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x - 4$ et $d v = \sqrt{x + 4}$ .

$(x - 4) (\frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 6

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 7

Laissez $u = x + 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 7.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2.3

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 9.2.4

Multipliez $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

Étape 9.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Étape 9.2.6

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(x + 4)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$