Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{(1 + 4 x^{2})}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{(1 + 4 x^{2})}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{(1 + 4 x^{2})}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x$

Étape 4

Factorisez $4$ à partir de $1 + 4 x^{2}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Étape 4.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Étape 4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + x^{2})} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + x^{2}} d x$

Étape 6

Réécrivez $\frac{1}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Étape 8.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Étape 8.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (x \cdot 2) + C)$

Étape 8.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$

Étape 8.2

Réécrivez $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$ comme $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 x) + C$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 x) + C$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$