Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Développez $(x^{8} + x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{8} + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{8} x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{8 - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.4

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.5

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{8 \cdot 2 - 1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.7.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$\int x^{\frac{16 - 1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.7.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.9

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.10

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.12.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.12.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{15}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{15}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 11

Réécrivez $- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ comme $- x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$