Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Étape 1

Écrivez $- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 6

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , placez $48$ en dehors de l’intégrale.

$- (48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Étape 7

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$- 48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 8

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 8.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 8.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 8.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 8.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2)}^{2}}$

Étape 8.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2 (1))}^{2}}$

Étape 8.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{{(2 (x + 1))}^{2}}$

Étape 8.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x + 1)$ .

$\frac{1}{2^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 8.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 8.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 8.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $2^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.5

Annulez le facteur commun de $2^{2}$ .

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Étape 8.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.6

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 8.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.7.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 8.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.7.1.2

Divisez $(A) \cdot (2^{2})$ par $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{2}) + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.7.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 = A \cdot 4 + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.7.3

Déplacez $4$ à gauche de $A$ .

$1 = 4 \cdot A + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 8.1.7.4

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 8.1.7.4.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{x + 1}$

Étape 8.1.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.7.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 8.1.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 8.1.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = 4 A + \frac{B (2^{2} (x + 1))}{1}$

Étape 8.1.7.4.2.4

Divisez $B (2^{2} (x + 1))$ par $1$ .

$1 = 4 A + B (2^{2} (x + 1))$

Étape 8.1.7.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 4 A + 2^{2} B (x + 1)$

Étape 8.1.7.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 = 4 A + 4 B (x + 1)$

Étape 8.1.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B \cdot 1$

Étape 8.1.7.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B$

Étape 8.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.8.1

Déplacez $B$ .

$1 = 4 A + 4 x B + 4 B$

Étape 8.1.8.2

Remettez dans l’ordre $4 A$ et $4 x B$ .

$1 = 4 x B + 4 A + 4 B$

Étape 8.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 8.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = 4 B$

Étape 8.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 4 A + 4 B$

Étape 8.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

Étape 8.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 8.3.1

Résolvez $B$ dans $0 = 4 B$ .

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Étape 8.3.1.2

Divisez chaque terme dans $4 B = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 B = 0$ par $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Étape 8.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Étape 8.3.1.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Étape 8.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Étape 8.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 8.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = 4 A + 4 B$ par $0$ .

$1 = 4 A + 4 (0)$

$B = 0$

Étape 8.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.2.1

Simplifiez $4 A + 4 (0)$ .

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Étape 8.3.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$1 = 4 A + 0$

$B = 0$

Étape 8.3.2.2.1.2

Additionnez $4 A$ et $0$ .

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

Étape 8.3.3

Résolvez $A$ dans $1 = 4 A$ .

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Étape 8.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = 0$

Étape 8.3.3.2

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 8.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Étape 8.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Étape 8.3.3.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Étape 8.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = \frac{1}{4} B = 0$

Étape 8.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{4}, B = 0$

Étape 8.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Étape 8.5.2

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Étape 8.5.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Étape 8.5.4

Divisez $0$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + 0$

Étape 8.5.5

Supprimez le zéro de l’expression.

$- 48 \int \frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 9

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- 48 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 48$ .

$\frac{- 48}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $- 48$ et $4$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 48$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4 (1)} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 12}{1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 10.2.2.4

Divisez $- 12$ par $1$ .

$- 12 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Étape 11

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 11.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 12 \int \frac{1}{u^{2}} d u + \int 48 d x$

Étape 12

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 12.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 12 \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int 48 d x$

Étape 12.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 12.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int 48 d x$

Étape 12.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 12 \int u^{- 2} d u + \int 48 d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- 12 (- u^{- 1} + C) + \int 48 d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$- 12 (- u^{- 1} + C) + 48 x + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez

$- 12 (- \frac{1}{u}) + 48 x + C$

Étape 15.2

Simplifiez

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Étape 15.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$12 \frac{1}{u} + 48 x + C$

Étape 15.2.2

Associez $12$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{12}{u} + 48 x + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ .

$F (x) =$ $\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$