Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(t + 1)}{\sqrt{t}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{(t + 1)}{\sqrt{t}}$ comme une fonction.

$f (t) = \frac{(t + 1)}{\sqrt{t}}$

Étape 2

La fonction $F (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (t) = \int \frac{t + 1}{\sqrt{t}} d t$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t + 1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 5

Retirez $t^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (t + 1) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (t + 1) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (t + 1) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (t + 1) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7

Développez $(t + 1) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + 1 t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + 1 t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{1 - \frac{1}{2}} + 1 t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int t^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} + 1 t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 7.7

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} + t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (t) = \frac{t + 1}{\sqrt{t}}$ .

$F (t) =$ $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$