Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5}{9 x^{2} + 36}$

Étape 1

Écrivez $\frac{5}{9 x^{2} + 36}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{5}{9 x^{2} + 36} d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 36} d x$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $9 x^{2}$ et $36$ .

$5 \int \frac{1}{36 + 9 x^{2}} d x$

Étape 6

Factorisez $9$ à partir de $36 + 9 x^{2}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

$5 \int \frac{1}{9 \cdot 4 + 9 x^{2}} d x$

Étape 6.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \cdot 4$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 x^{2}} d x$

Étape 6.3

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{2}$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 (x^{2})} d x$

Étape 6.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (4) + 9 (x^{2})$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4 + x^{2})} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $5$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Étape 8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{5}{9} (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Étape 10.2

Réécrivez $\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$ comme $\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ .

$\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{5}{9}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{9 \cdot 2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$