Calcul infinitésimal Exemples

$2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 7

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\sec (x) \tan (x)$ , l’intégrale de $\sec (x) \tan (x)$ est $\sec (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - \int \sqrt{x} d x$

Étape 9

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Étape 11.2

Simplifiez

$2 e^{x} + \sec (x) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \sec (x) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$