Calcul infinitésimal Exemples

${(6 x + 5)}^{2} d x$

Étape 1

Écrivez ${(6 x + 5)}^{2} d x$ comme une fonction.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x d x$

Étape 4

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int {(6 x + 5)}^{2} x d x$

Étape 5

Laissez $u = 6 x + 5$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 6 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $6 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$d \int u^{2} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) \frac{1}{6} d u$

Étape 6

Associez $\frac{1}{6}$ et $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} + \frac{u^{2}}{6} (- \frac{5}{6}) d u$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $\frac{u^{2}}{6}$ et $- 1$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} - 1 \cdot \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{u^{2}}{6}$ par $\frac{u}{6}$ .

$d \int \frac{u^{2} u}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Étape 7.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$d \int \frac{u^{2} u^{1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Étape 7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int \frac{u^{2 + 1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Étape 7.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$d \int \frac{u^{3}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Étape 7.7

Multipliez $6$ par $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Étape 7.8

Associez $- 1 \frac{u^{2}}{6}$ et $\frac{5}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2}}{6} \cdot 5}{6} d u$

Étape 7.9

Associez $\frac{u^{2}}{6}$ et $5$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2} \cdot 5}{6}}{6} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Déplacez $5$ à gauche de $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{5 \cdot u^{2}}{6}}{6} d u$

Étape 8.2

Réécrivez $- 1 \frac{5 u^{2}}{6}$ comme $- \frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6} d u$

Étape 8.3

Réécrivez $\frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6}$ comme un produit.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6} \cdot \frac{1}{6} d u$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6 \cdot 6} d u$

Étape 8.5

Multipliez $6$ par $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{36} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\int \frac{u^{3}}{36} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{36}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{36}$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{1}{36} \int u^{3} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Étape 12

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Étape 14

Comme $\frac{5}{36}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{5}{36}$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{5}{36} \int u^{2} d u))$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Étape 16.2

Simplifiez

$d (\frac{u^{4}}{144} - \frac{5 u^{3}}{108}) + C$

Étape 17

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 5$ .

$d (\frac{{(6 x + 5)}^{4}}{144} - \frac{5 {(6 x + 5)}^{3}}{108}) + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$ .

$F (x) =$ $d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$