Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{-1} (d x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{-1} (d x)$ comme une fonction.

$f (d) = \sin^{-1} (d x)$

Étape 2

La fonction $F (d)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (d)$ .

$F (d) = \int f (d) d \cdot d$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (d) = \int \sin^{-1} (d x) d \cdot d$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin^{-1} (d x)$ et $d v = 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d - \int d \frac{x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d$

Étape 5

Associez $d$ et $\frac{x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - \int \frac{d x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d$

Étape 6

Comme $x$ est constant par rapport à $d$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$\sin^{-1} (d x) d - (x \int \frac{d}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d)$

Étape 7

Laissez $u = 1 - d^{2} x^{2}$ . Alors $d u = - 2 \cdot d x^{2} d \cdot d$ , donc $\frac{1}{- 2 x^{2}} d u = d \cdot d \cdot d$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 1 - d^{2} x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d \cdot d}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $1 - d^{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [1 - d^{2} x^{2}]$

Étape 7.1.2

Différenciez.

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Étape 7.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - d^{2} x^{2}$ par rapport à $d$ est $\frac{d}{d \cdot d} [1] + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [1] + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$

Étape 7.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $1$ par rapport à $d$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $- d^{2} x^{2}$ par rapport à $d$ est $- x^{2} \frac{d}{d \cdot d} [d^{2}]$ .

$0 - x^{2} \frac{d}{d \cdot d} [d^{2}]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ est $n d^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - x^{2} (2 d)$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x^{2} d$

Étape 7.1.4

Soustrayez $2 x^{2} d$ de $0$ .

$- 2 x^{2} d$

Étape 7.1.5

Remettez dans l’ordre $- 2 x^{2}$ et $d$ .

$d (- 2 x^{2})$

Étape 7.1.6

Remettez dans l’ordre $d$ et $- 2$ .

$- 2 \cdot d x^{2}$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2 x^{2}} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin^{-1} (d x) d - x \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2 x^{2}}) d u$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int - \frac{1}{\sqrt{u} (2 x^{2})} d u$

Étape 8.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int - \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sin^{-1} (d x) d - x (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + 1 x \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Étape 10.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + x \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2 x^{2}}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2 x^{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$\sin^{-1} (d x) d + x (\frac{1}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{2 x^{2}}$ et $x$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 12.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 12.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x^{1}}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 12.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 12.1.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{x (2 x)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 12.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{x (2 x)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 12.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 12.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 12.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 12.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 12.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 12.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 12.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 12.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Réécrivez $\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\sin^{-1} (d x) d + 2 \frac{1}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\sin^{-1} (d x) d + 2 \frac{1}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14.2

Simplifiez

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Étape 14.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{2}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{2}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{x} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - d^{2} x^{2}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{{(1 - d^{2} x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x} + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (d) = \sin^{-1} (d x)$ .

$F (d) =$ $\sin^{-1} (d x) d + \frac{{(1 - d^{2} x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x} + C$