Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln^{4} (x)}{4 x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\ln^{4} (x)}{4 x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\ln^{4} (x)}{4 x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\ln^{4} (x)}{4 x} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{\ln^{4} (x)}{x} d x$

Étape 5

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 5.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez $\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ comme $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{20} \ln^{5} (x) + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\ln^{4} (x)}{4 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{20} \ln^{5} (x) + C$