Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

Étape 4.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} - x$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

Étape 4.1.2.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Étape 4.1.2.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 5

Retirez $x^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 7.2

Multipliez $x^{- \frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 7.3

Factorisez le signe négatif.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

Étape 7.6

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 7.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

Étape 7.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

Étape 7.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

Étape 7.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

Étape 7.7.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

Étape 7.8

Remettez dans l’ordre $x^{- \frac{3}{2}}$ et $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 10

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 12

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Étape 12.1

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$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 12.2

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Étape 12.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 12.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$