Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\ln (x)}{x^{5}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x^{5}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \ln (x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 5} d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 5}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

Étape 6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Étape 8.2

Multipliez $\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ par $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Étape 9

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 10

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 10.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 10.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Réécrivez $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ comme $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{4}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

Étape 12.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

Étape 12.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

Étape 12.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$