Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(4 t + 8)}{t^{- 8}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{(4 t + 8)}{t^{- 8}}$ comme une fonction.

$f (t) = \frac{(4 t + 8)}{t^{- 8}}$

Étape 2

La fonction $F (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (t) = \int \frac{4 t + 8}{t^{- 8}} d t$

Étape 4

Placez $t^{- 8}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int (4 t + 8) t^{8} d t$

Étape 5

Multipliez $(4 t + 8) t^{8}$ .

$\int 4 t \cdot t^{8} + 8 t^{8} d t$

Étape 6

Multipliez $t$ par $t^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $t^{8}$ .

$\int 4 (t^{8} t) + 8 t^{8} d t$

Étape 6.2

Multipliez $t^{8}$ par $t$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (t^{8} t^{1}) + 8 t^{8} d t$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 t^{8 + 1} + 8 t^{8} d t$

Étape 6.3

Additionnez $8$ et $1$ .

$\int 4 t^{9} + 8 t^{8} d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 t^{9} d t + \int 8 t^{8} d t$

Étape 8

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int t^{9} d t + \int 8 t^{8} d t$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{9}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{10} t^{10}$ .

$4 (\frac{1}{10} t^{10} + C) + \int 8 t^{8} d t$

Étape 10

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{10} t^{10} + C) + 8 \int t^{8} d t$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{8}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{9} t^{9}$ .

$4 (\frac{1}{10} t^{10} + C) + 8 (\frac{1}{9} t^{9} + C)$

Étape 12

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Étape 12.1

Simplifiez

$4 (\frac{1}{10}) t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{4}{10} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 12.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{10} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Étape 12.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Étape 12.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Étape 12.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Étape 12.2.3

Associez $8$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{2}{5} t^{10} + \frac{8}{9} t^{9} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (t) = \frac{4 t + 8}{t^{- 8}}$ .

$F (t) =$ $\frac{2}{5} t^{10} + \frac{8}{9} t^{9} + C$