Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 1

Écrivez $\cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$ comme une fonction.

$f (x) = \cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cot (x) (\sec (x) - \tan (x)) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \cot (x) \sec (x) + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Étape 4.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\cot (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

$\int \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Étape 4.3

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Remettez dans l’ordre $\cot (x)$ et $- \tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x) \cot (x) d x$

Étape 4.3.2

Ajoutez des parenthèses.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\tan (x) \cot (x)) d x$

Étape 4.3.3

Remettez dans l’ordre $\tan (x)$ et $\cot (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\cot (x) \tan (x)) d x$

Étape 4.3.4

Réécrivez $\cot (x) (- \tan (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) d x$

Étape 4.3.5

Annulez les facteurs communs.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) - 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int \csc (x) - 1 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \csc (x) d x + \int - 1 d x$

Étape 6

L’intégrale de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C + \int - 1 d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C - x + C$

Étape 8

Simplifiez

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - x + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - x + C$