Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (\ln (x))$

Étape 1

Écrivez $\sin (\ln (x))$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

Étape 4

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $e^{u}$ et $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \sin (u)$ et $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Étape 7

Remettez dans l’ordre $e^{u}$ et $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \cos (u)$ et $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Étape 10

Simplifiez en multipliant.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Étape 10.2

Multipliez $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ par $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Étape 11

En résolvant $\int e^{u} \sin (u) d u$ , nous trouvons que $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Étape 12

Réécrivez $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ comme $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Étape 14.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Étape 14.4

Multipliez $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

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Étape 14.4.1

Associez $\sin (\ln (x))$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Étape 14.4.2

Associez $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ et $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Étape 14.5

Multipliez $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

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Étape 14.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Étape 14.5.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Étape 14.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Étape 15

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$