Calcul infinitésimal Exemples

$\sec^{3} (θ)$

Étape 1

Écrivez $\sec^{3} (θ)$ comme une fonction.

$f (θ) = \sec^{3} (θ)$

Étape 2

La fonction $F (θ)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (θ) = \int \sec^{3} (θ) d θ$

Étape 4

Factorisez $\sec (θ)$ à partir de $\sec^{3} (θ)$ .

$\int \sec (θ) \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (θ)$ et $d v = \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Étape 6

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) d θ$

Étape 7

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (θ)$ et $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \tan^{2} (θ) d θ$

Étape 10

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (θ)$ comme $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec^{2} (θ)) d θ$

Étape 11

Simplifiez en multipliant.

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Étape 11.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \cdot - 1 + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Étape 11.3

Remettez dans l’ordre $\sec (θ)$ et $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \cdot \sec (θ) + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Étape 12

Élevez $\sec (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \sec (θ) d θ$

Étape 13

Élevez $\sec (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Étape 15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Étape 16

Élevez $\sec (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) d θ$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{2 + 1} d θ$

Étape 18

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{3} (θ) d θ$

Étape 19

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\sec (θ) \tan (θ) - (\int - 1 \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Étape 20

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sec (θ) \tan (θ) - (- \int \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Étape 21

L’intégrale de $\sec (θ)$ par rapport à $θ$ est $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - (- (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Étape 22

Simplifiez en multipliant.

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Étape 22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (θ) \tan (θ) - - (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Étape 22.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Étape 23

En résolvant $\int \sec^{3} (θ) d θ$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (θ) d θ$ = $\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2} + C$

Étape 24

Multipliez $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C$ par $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C}{2} + C$

Étape 25

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

Étape 26

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (θ) = \sec^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$